数学实验课的宗旨是、在教师指导下以学生在计算机上动手、动眼、动脑为主，通过用数学软件做实验，学习解决实际问题常用的数学方法，并在此基础上分析、解决经过简化的实际问题，提高学数学与用数学的兴趣、意识和能力。本书通过14个实验介绍数值计算；优化方法和数理统计的基本原理、有效算法及软件实现，并提供若干简化的实际问题，让读者利用学到的数学方法及适合的数学软件在计算机上完成数学建模的全过程。本书适用于学过微积分和线性代数的读者讲一步提高利用数学工具和计算机技术分析、解决实际问题的能力。
本书可作为高等院校理工、经管类专业数学实验、数学建模课程的教材或参考书，大学生数学建模竞赛的辅导教材，也可供专业人员学习参考。
本书集数值计算、优化方法、数理统计、数学建模以及数学软件于一体，以了解数学基本原理、熟悉主要数值算法、会用数学软件、培养数学建模能力为基本要求，使之既是微积分、代数与几何、随机数学方法三门数学基础课程的巩固和提高，又在基本数学知识和数学的应用之间架起一座桥梁。
实验1 数学建模初步
1. 1 什么是数学建模
1. 2 数学建模实例与数学实验方法
1. 3 数学建模的基本方法和步骤以及重要意义
1. 4 实验练习
实验2 差分方程和数值微分
2. 1 一阶线性常系数差分方程
2. 2 高阶线性常系数差分方程
2. 3 线性常系数差分方程组
2. 4 非线性差分方程
2. 5 数值微分
2. 6 实验练习
实验3 插值与数值积分
3. 1 实例及其数学模型
3. 2 3种插值方法
3. 3 数值积分
3. 4 实验练习
实验4 常微分方程数值解
4. 1 实例及其数学模型
4. 2 欧拉方法和龙格-库塔方法
4. 3 龙格-库塔方法的MATLAB实现
4. 4 算法的收敛性. 稳定性及刚性方程
4. 5 实验练习
实验5 线性代数方程组的数值解法
5. 1 实例及其数学模型
5. 2 求解线性代数方程组的直接法
5. 3 求解线性代数方程组的迭代法
5. 4 超定线性代数方程组的最小二乘解
5. 5 线性方程组数值解法的MATLAB实现
5. 6 实验练习
实验6 非线性方程求解
6. 1 实例及其数学模型
6. 2 非线性方程和方程组的基本解法
6. 3 MATLAB解非线性方程和方程组
6. 4 分岔与混沌现象
6. 5 实验练习
实验7 无约束优化
7. 1 实例及其数学模型
7. 2 无约束优化的基本方法
7. 3 MATLAB优化工具箱
7. 4 实验练习
实验8 约束优化
8. 1 实例及其数学模型
8. 2 线性规划的基本原理和解法
8. 3 带约束非线性规划的基本原理和解法
8. 4 实例的求解
8. 5 实验练习
实验9 整数规划
9. 1 实例及其数学模型
9. 2 整数规划的基本原理和解法
9. 3 用LINDO和LINGO解整数规划
9. 4 实例的求解
9. 5 实验练习
实验10 数据的统计与分析
10. 1 实例及其分析
10. 2 数据的整理和描述
10. 3 随机变量的概率分布及数字特征
10. 4 用随机模拟计算数值积分
10. 5 实例的建模和求解
10. 6 实验练习
实验11 统计推断
11. 1 实例及其分析
11. 2 参数估计
11. 3 假设检验
11. 4 实例的求解
11. 5 实验练习
实验12 回归分析
12. 1 实例及其数学模型
12. 2 一元线性回归分析
12. 3 多元线性回归分析
12. 4 非线性回归分析
12. 5 实验练习
实验13 人工神经网络
13. 1 谵妄的诊断
13. 2 单层前向人工神经网络
13. 3 多层前向神经网络
13. 4 MATLAB的图形交互界面
13. 5 神经网络在谵妄诊断中的应用
13. 6 实验练习
实验14 数学建模与数学实验
14. 1 投篮的出手速度和角度
14. 2 降落伞的选择
14. 3 航空公司的预订票策略
14. 4 实验练习
部分实验练习的参考答案
附录 MATLAB使用入门
1 矩阵及其运算
2 语句和函数以及其他数据类型
3 命令和窗口环境
4 图形功能
5 程序设计
6 符号工具箱使用简介
电子计算机的出现和飞速发展是20世纪科学家和工程师对人类做出的最伟大的贡献之一. 今天, 不论你走进大型工厂的控制间. 建筑公司的设计室, 还是政府机关的办公楼. 学校的多媒体教室, 计算机都会立刻进入你的眼帘. 刷卡购物. 刷卡乘车. 刷卡人住. 刷卡注册……人们的日常生活越来越离不开计算机. 今天我们难以想像在不久的未来计算机会给人类生活带来多么巨大的变化.
数学作为一门研究现实世界数量关系和空间形式的科学, 在它产生和发展过程中, 一直是和人们的实际需要密切相关的, 历史上许多科学技术的重大发明都离不开数学, 电子计算机的出现也应归功于数学家的奠基性工作. 反过来, 科学技术和生产活动的进步, 又促进了数学的发展. 特别是电子计算机技术的飞速进步为古老的数学提供了威力巨大的工具, 彻底改变了长期以来仅靠一张纸. 一支笔做数学题的传统, 使数学的应用在广度和深度上都达到了前所未有的程度, 促成了从数学科学到数学技术的转化, 并使数学技术成为当今高科技的一个重要组成部分和显著标志. 同时也把数学从数学家的书斋里和课本中解放出来, 成为各行各业认识自然. 改造社会的有力武器.
教育必须跟踪. 反映并预见社会发展的需要, 大学的数学教育更应如此. 我们看到, 先是出现了一些计算机语言和编写程序的课程, 让学生熟悉和学会使用计算机, 继而引入各种形式的数学建模课程, 架起数学知识和应用之间的桥梁, 弥补了学生学完传统数学课程仍不会用的缺陷, 对数学教学改革起了显著的促进作用. 但是上面两类课程尚未很好地融合, 计算机程序一类课程很少涉及数学的应用, 数学建模课程又往往是纸上谈兵, 学生少有机会自己动手, 用计算机这个强有力的工具去分析. 解决哪怕是简化的实际问题. 目前正蓬勃开展的全国大学生数学建模竞赛, 可以说是二者相结合的一个范例, 而那毕竟只是少数学生参加的课外科技活动.
作为探索计算机技术和数学软件引入教学后数学教育改革的一项尝试, 1996年在教育部立项的面向21世纪非数学专业数学教学体系和内容改革的总体构想中, 把"数学实验"列为数学基础课之一, 清华大学数学系参加了这项教改的一个课题组, 并于1998年进行了数学实验课的试点. 在此基础上姜启源等编写了《数学实验》一书(萧树铁教授主编的面向21世纪课程教材《大学数学》丛书中的一本, 高等教育出版社1999年出版).
近几年国内不少高等院校相继开设了数学实验课, 也出版了好几本教材, 从中可以看出, 大家对于这门课程基本宗旨的认识大体上是一致的, 即以学生在计算机上动手. 动眼. 动脑为主, 在教师的指导下, 通过用数学软件做实验, 学习解决实际问题常用的数学方法, 分析. 解决经过简化的实际问题, 提高学数学. 用数学的兴趣. 意识和能力. 当然, 在课程的模式和实验的内容上, 各校根据各自的具体情况有所不同, 这是十分正常的现象, 应当鼓励不同形式的课程模式. 内容和方法的大胆探索.
在清华大学新制定的非数学类专业数学教学体系中, 数学实验是4门主干课程的最后一门(前3门是微积分. 代数与几何. 随机数学方法), 起着承上(上述3门数学课). 启下(后续课. 研究生课程及数学的应用)的作用. 我们将它设计为一门重组课程, 集数值计算. 优化方法. 数理统计. 数学建模以及数学软件于一体, 以"了解数学基本原理. 知道主要数值算法. 会用数学软件实现. 培养数学建模能力"为基本要求, 使之既是上述3门数学课程的巩固和提高, 又在基本数学知识和数学的应用之间架起一座桥梁.
目前不少院校正在开展"本硕贯通"的教育改革, 本科阶段的数学实验课只介绍相关数学知识的基本原理. 方法. 软件实现及其应用, 为研究生阶段要求掌握更深入的理论和方法的数学课程(如数值分析, 数学规划. 高等数理统计等)提供了许多实际背景, 也留下了一些需要进一步解决的问题, 从而刺激了学生再学习的愿望.
按照上述的基本思路, 从2000年起清华大学在全校范围内大规模地开设数学实验课, 每学期3～4个大班(每班约200人), 得到同学们的肯定和好评, 我们也在教学中不断明确和修正这门课程的指导思想和目的要求, 逐步改进和完善课程的具体内容和教学方法, 这本教材就是在4年来教学实践的基础上由主要授课教师集体编写的.
基于上面的认识与实践, 这本教材的编写遵循了以下原则：
1. 在上述3门数学主干课程的基础上, 介绍一些最常用的解决实际问题的数学方法, 包括数值计算. 优化方法和数理统计的基本原理及主要算法, 一般不讲证明, 基本上不做笔头练习.
2. 选择合适的数学软件平台(以MATLAB为主, 辅之以LINDO和-LINGO), 能够方便地满足以上内容的软件实现.
3. 数学建模的思想和方法贯穿全书, 从建模初步练习开始, 以建模综合练习结束, 每个实验尽量从实际问题的建模引入, 并落实于模型的求解.
4. 精心安排学生的实验, 学生自己动手在计算机上做练习的时间和条件必须保证, 建议讲课与实验的学时比例至少为1, 2, 并且对实验报告的内容和格式提出明确的要求.
按照这些原则本书共包含14个实验：数值计算5个实验, 优化方法3个实验. 数理统计3个实验. 数学建模2个实验, 另外还有人工神经网络1个实验. 这些实验基本上相互独立, 教师可根据具体情况选用. 一个实验的内容可在3-4学时内讲完. 每个实验都备有充分的. 供学生动手做的练习, 部分练习题附有提示或参考答案. MATLAB的基本用法编入附录.
针对数学实验课需要知识面广. 实例多. 计算方法与软件实现相互交叉等特点, 课堂讲授宜采用多媒体教学, 可以做到实例生动. 信息量大. 便于接受. 我们研制了与本书配套的多媒体课件, 交由清华大学出版社出版.
本书实验1, 2, 12, 14由姜启源编写, 实验3, 10, 11, 13由邢文训编写, 实验6, 7, 8, 9及附录由谢金星编写, 实验4, 5由杨顶辉编写, 张立平统编了部分实验练习的参考答案, 黄红选. 张立平参加了审阅, 全书由姜启源统稿. 在清华大学讲授过数学实验课的还有李建国. 李津等, 他们都对这本教材的编写做出了贡献, 在此表示衷心的感谢.
编者
2004. 6
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