复变函数 (2010 年度畅销榜NO.14705 )

本书用一小半篇幅介绍19世纪中叶建立的经典复变函数的基本结论：复数域、解析函数、Cauchy定理、Cauchy积分公式、Laurent级数展开、辐角原理、留数定理及其在实积分计算中的应用等。另一大半篇幅主要介绍复解析函数所特有的基本结论，同时涉及到最新发展的一些结论和相关学科。主要内容有：在最大模定理后介绍了Nevanlinna理论；在正规族的基本结论后用Zalcman最新方法简明地讨论了正规族，并得到Picard大、小定理与Montel定理间的等价关系；介绍了共形映照和单叶函数的基本结论；在初等Riemann曲面后进一步介绍了Riemann曲面的思想、概念和基本结论；通过圆盘上的Drichlet边值问题，介绍调和函数的基本知识，通过一般的Drichlet边值问题，介绍调和测度、Green函数等；最后，从双曲度量的角度介绍了双曲几何及其应用，用几何的观点来认识复解析函数。
本书内容丰富，逻辑严谨，循序渐进，可作为大学数学系、应用数学系本科生同名课程的教材以及相关专业的研究生、教师的参考书，并可供相关科技工作者阅读。

第1章复数系统及复平面
1.1复数域和复平面
1.2度量、开集、区域
1.3复球面以及球极投影
1.4完备性、紧性
习题
第2章复变量函数的基本知识
2.1解析函数
2.2线积分
2.3幂级数
2.4初等解析函数
习题
第3章复积分
3.1Cauchy—GOursat定理
3.2Cauchy定理、积分公式及应用
3.3一般形式的Cauchy定理
3.4laurcnt级数与孤立奇点
3.5留数定理和辐角原理
3.6广义积分
习题
第4章最大模与Nevanlinna特征函数
4.1最大模原理及应用
4.2Hadamard三圆定理
4.3Phragmen-Lindel6f定理
4.4Nevanlinna理论初步
习题
第5章复变函数正规族
5.1连续函数正规族
5.2解析函数与亚纯函数正规族
习题
第6章共形映照
6.1基本概念
6.2线性变换
6.3初等解析函数的共形区域
6.4Riemann映照定理及边界对应原理
6.5对称原理与多角区域上的共形映照
6.6单位圆盘上的单叶函数
习题
第7章调和函数
7.1调和函数的基本性质及其构造
7.2Dirichlet边值问题
7.3调和测度与Green函数
习题
第8章整函数与亚纯函数
8.1Weierstrass无穷乘积
8.2Mittag-Leffler主部分解
习题
第9章Riemann曲面
9.1初等Riemann曲面
9.2Weierstrass解析开拓
9.3芽与层
9.4Riemann曲面的概念
9.5基本群、覆盖空间、单值化定理
第10章双曲几何
10.1单位圆盘上的双曲几何
10.2双曲度量原理
附录度量空间
参考文献
索引

复变函数理论创立于19世纪，是当时最独特的创造，到20世纪还在不断地发展，成为不仅是当时也是现在的一门优美的学科.这个学科时常称之为函数论，被誉为19世纪的数学享受.我们在享受数学的美妙成果的时候，可能会忽略了创造这些成果的数学家们每迈出一步所付出的艰辛.这里想简要回忆一下复变函数发展的历史，因为当我们了解一段历史后，也许会更深一步地感受到它的魅力，增强对它的学习兴趣和研究勇气. 从1776年起，Euler利用复函数来计算实积分值.更早些时候，D’Alembert在流体力学的研究中就用到复函数，而Laplace从1782年起像Euler那样，把实积分转换为复积分来计算实积分的值.他们的分析工作是通过把复函数的实部和虚部分开来进行的，所以复函数还没有成为真正的基本实体.这种情况还发生在Gauss身上.Gauss在证明代数基本定理(见定理3.2.4)时用到复数，他将涉及的复函数分为实部和虚部.到1825年，Gauss还明确地说“√一1的真正奥妙是难以捉摸的”. 从所作的贡献来看，复变函数理论的奠基人是Augustin—LouisCauchy，Karl Weierstrass和George Friedrich Bernhard Riemann.Cauchy是把复函数当作基本实体来研究的第一人.他自1821年起，花了约25年的时间，以导数和积分为出发点，发展了复变函数理论，在复函数有连续导数的情形下建立了Cauchy定理；引入了留数，建立了留数定理，并用留数来计算实积分等.到1843年，AlphonseLaurent继续Cauchy的工作，建立了Laurent级数展开，这是Taylor级数展开的一个推广.也许起初Cauchy研究复函数时是考虑实积分的计算，但到后期他改变了这个观点，不再关心这种计算，而是转到复变函数理论本身的研究上，并建立了这个理论的基础.Weierstrass则开辟了一条新的探索途径，在幂级数的基础上建立起解析函数理论以及解析开拓的方法(见节9.2)等.Riemann于1851年在他的博士论文中研究了Riemann曲面上的共形映照，为共形映照的研究开辟了新的篇章.他在论文的结尾给出了Riemann映照定理(见定理6.4.1)，虽然他的证明是不完整的，但这个定理确定了一般单连通区域间共形映照的存在性.对于特殊的情形，Schwarz(1869年)和Christoffe!(1867年)给出了多边形区域上半平面的共形映照的积分表示式(见定理6.5.3).多值函数对我们来说是棘手的，然而我们经常不可避免地会遇到它，例如在研究代数函数时就会遇到.Riemann研究了多值函数，建立了Riemann曲面的概念(见第9章).Riemann曲面不仅是描绘多值函数的一个方法，而且在这个曲面上多值函数可单值化，并与z平面上的情形相对应.Lobatchevsky和Bolyai在研究Euclid几何中的第5公理时，果敢地放弃了这条平行公理，而建立了一种非Euclid几何，后来Klein称其为双曲几何，而Euclid几何则称为抛物几何.为了证明双曲几何的相容性，Poincare给出了一个模型，这是几个模型中的一个.通过模型，双曲几何的相容性归结为Euclid几何的相容性.Poincare的模型可以通过单位圆盘上Poincare度量给出的度量几何来建立(见节10.1).Poincare度量的一个重要性质是在共形映照下不变，在一般的解析映照下是缩小的，这就是Poincare度量原理(见节10。2)，因此这个度量在解析函数理论中也是重要的，最重要的是它引出从几何的角度来看解析函数.的确，Ahlfors用超双曲度量导出了Bloch常数的一个下界，数学家们花费了约半个世纪的时间才得到好于Ahlfors的界，但Bloch常数的精确下界至今仍是个未解决的问题. 20世纪，复变函数理论在各个方面都有全面的发展。Nevan[inna引入了亚纯函数的特征函数，给值分布理论的研究带来了飞跃.Montel给出了函数族正规性的概念以及一些基本正规族判别定则；这些正规定则有许多应用，例如，应用于Riemann映照定理等一些经典定理的证明中；Fatou和Julia通过函数迭代下的正规性创立了复动力系统理论.到80年代，由于其他学科的相互渗透，以及本学科中一些重大问题的解决，同时又由于计算机图形化，复动力系统在国际上备受关注.Bieberbach在单叶函数研究的基础土，提出了单叶函数幂级数展开的系数估计的Bieberbach猜想(见定理6。6.1).为证明这个重要的猜想，许多数学家付出了辛勤地努力，直到1985年才由法国数学家de Brange证明了这个猜想.此外，多复变函数理论、拟共形映照理论、Teichmtiller理论、位势理论等都有了迅速地发展. 从复变函数理论的发展简史出发，作者以为可以更好地了解本书的内容和编排.在编写中不仅没有放弃对计算训练的要求，而且强调复分析基本结论的严密推演.作者以为后者对素质教育和数学理性的培养都是必要的，而且更能使读者掌握复分析的独特内涵.我们还试图在介绍复分析基本内容的基础上，以拓宽学生的知识面，展示新知识为本书编写的原则.本书篇幅不算长，但内容丰富，而且有一定的深度.在现有的学时下，要教完本书似乎是困难的，但可以在教学中针对学习的对象对本书的内容有所取舍.考虑到这一点，在本书的编排上，我们把较难的定理或定理的证明放在一节中(如一般形式的Cauchy定理的证明)或一节或一章的最后，读者可以根据需要取舍.为了使这种取舍不会影响内容的连贯性，我们对一些概念的定义作了适当的重复.总之，对本书内容的取舍在教学和学习中不会有困难，这使得本书能够适应更多的读者.的确，我们力图使得本书不仅是一本教科书，也是一本很好的参考书.随着21世纪的到来以及我国提倡的科教兴国，都对教育提出了更高的要求，希望本书的编写能为此做一点贡献. 复变函数是数学专业以及相关专业本科生必修的基础课.本书编写理念是：教材是教与学的一个环境，它应具有多层次的包容性，由浅入深，突出重点和学科框架。作者认为教与学的关系对本科生来说，教是引导，而学是主体，教材是环境，引导式的教与主体式的学在广阔的环境里更能得心应手。本科生必修的复变函数理论主要内容包括三个方面： (1)解析函数，围道积分(Cauchy定理，Cauchy积分，Laurent级数，留数等)； (2)共形映照(包括线性变换、Riemann映照定理和多边形区域上的共形映照)； (3)Riemann曲面(包括根式函数，对数函数的Riemann曲面，一般性Riemann曲面对多值函数单值化的思想等). 本书以这三点为主线展开，同时突出了与复分析近代发展相关的其他方面，如正规族，单叶函数，调和函数，Nevanlinna理论，双曲几何等.如果全书以(1)为中心的话，作者认为不能更好地突出复变函数的独特之处，这是因为(1)主要与线积分，Green公式，Taylor级数很相近，主要讨论的内容是微积分相应内容的复化，不能领会到复变函数的精髓.本书主要将与微积分相近的经典复变函数的内容进行了压缩，避免了在方法和内容上与微积分的重复. 本书用一小半的篇幅，介绍了19世纪中叶建立起来的复变函数的基本结论：Cauchy定理、Cauchy积分公式、Laurent级数展开、留数定理、辐角原理、留数定理在实积分计算中的应用等.这部分内容与高等数学中介绍的第二类曲线积分有一定的关系，例如，可以用Green公式证明具有连续导数的复函数的Cauchy积分定理.本书的另一半篇幅主要介绍复解析函数所特有的进一步的基本结论，这是复变函数理论中精彩的地方，同时涉及到最新发展的一些结论和学科分支.我们试图在打下良好的基础前提下，为读者打开一个进一步学习的窗口：在最大模定理后面介绍了Nevanlinna理论；介绍了正规族的基本结论之后用Zalcman的最新方法简明地讨论了正规族，并得到Picard大、小定理与Montel定理间的等价关系；在共形映照的后面介绍了单叶函数的基本结论；在初等Riemann曲面的后面进一步介绍了Riemann曲面的思想、概念和基本结论；以Dirichlet边值问题为主线，通过圆盘上的Dirichlet边值问题介绍调和函数的基本知识，通过一般的Dirichlet边值问题，讨论Green函数等，这些都是本书的特色.本书定理的逻辑证明力图展示一些复分析处理问题的方法、思想和一定的技巧。 参考文献中所列的文献对本书的编写都有一定的影响，尤其是文献[1，4，11，14，20]和[21)对本书的编排有直接的影响.最后衷心感谢清华大学出版社为本书的出版给予的支持和帮助.由于本人的水平有限，在本书的选材和处理上，难免有不足和错误，敬请读者批评指正. 郑建华 2004年8月1日于清华园