流形上的微积分（双语版）——图灵原版数学·统计学系列 (2009 年度畅销榜NO.7936 )

何新：“无穷集可与其真子集等势”是荒谬的矛盾
————将重大矛盾误为伟大真理是数学史上重大悲剧
黄小宁
通讯：广州市华南师大南区9-303第二信箱 邮编510631
解恩泽等：“大凡一种理论体系，都可能潜伏着逻辑矛盾即悖论，发现悖论并设法消除之，往往会导致重大的科学革命。”（《潜科学》1992-2，2页）。潜在意义上的“[0，1]内有多少个数，[0，2] 内也有多少个数”不是逻辑矛盾吗？
若0 ≤ x ≤1表示x的变域是[0，1] = D，那么相应的0 ≤ 2x ≤2也表示2x＝y的变域Z是[0，2]吗？几千年数学实际上一直断定定义域为D的y =2x的值域Z=[0，2]。这完全是中学数学问题。
y= f(x)＝2x 是说x的变域D的各元x均有对应数y=2x。所有对应数y组成的集合Z就是 f(x) 的值域。因为Z的各元y＝2x是由 [0，2]的真子集D 的各元x均由x变换为2x＝y而来的，所以D内有多少个数，Z内也有多少个数。然而数学一直断定D是Z的真子集。这就构成了非常明显的违反最起码语文、科学常识：部分全体的不合逻辑的重大自相矛盾，有待人类去消除。何新先生敏锐地洞察到：“这犹如说父亲与儿子年龄一样大。这是一个荒谬的矛盾，导致集合论的逻辑基础成为问题。”（何新，《思考——我的哲学与宗教观》233页，时事出版社）。消除此矛盾是重大世界难题。
然而数学家们不但不察觉这是极其尖锐的重大自相矛盾，反而还认为这是数学的伟大真理。康脱的集合论使数学家们感到无比的骄傲与自豪，认为其是“人类的最伟大的创造之一”（胡作玄，引起纷争的金苹果，福建教育出版社，1993.12：27）。将本来是有待解决的重大自相矛盾误当成是统治数学的伟大真理，是数学发展史上的重大悲剧！这使数学有方向、路线错误！掩盖此重大错误不是真正尊重与爱护数学家，恰恰相反，…。
自相矛盾的理论是有头脑的人无法接受的理论，从而极难学难教。（初稿完成于2007-6-11）
附录：网上论文：
百多字推翻百多年无穷集论
黄小宁
搞错变量的变域是导致全盘皆错的最重大根本错误。若任何正数都能由2x>0中的x代表，则并非任何正数都能由此2x代表。
若0 ≤ x ≤1表示x的变域是[0，1] = D，那么相应的0 ≤ 2x ≤2也表示2x＝y的变域Z是[0，2]（记为2D）吗？即定义域为D的y =2x的值域Z=2D吗？这完全是中学数学问题。
y= f(x)＝2x 是说x的变域D的各元x均有对应数y=2x。所有对应数y组成的集合Z就是 f(x) 的值域。D与Z显然包含一样多个数。
最关键的是若Z与2D是同一数集，则两者必对等即Z的各元必与2D的各元一一对应，这是Z=2D的必要条件。两变量x与增函数y（x）若（在整个变化过程中）总近似相等（例如x与1.0001x），则其变域必近似相等，若总相等，才能有其变域相等。
Z的各元y＝2x是由 [0，2]=2D的子集D 的各元x均由x变换为2x＝y而来的。Z的生成过程表明其各元远不可与2D的各元一一对应而只是与2D的一半元素组成的D的各元一一对应。因为连Z=2D的必要条件也不具备，故Z远≠2D。
注！几何常识：沿数轴运动的动点由位置b处运动至a处必遍经两处之间的一切位置之后才能到达a处,虽然2处之间有无穷多个位置。故应有相应的代数常识：变域为闭区间等的变量必能有序地遍取其变域内的一切数；否则就如连正方形对角线的长也不能定量阐明那样表明…。Z内的一个个2x(无穷集Z也是由一个个元素组成的，由小到大取值且变域为Z的变量y取2后就无数可取了。)由小到大地先后与D的各元x一一对应成双配对，一直到2x=2与x=1配成一对后，Z内就再也无多余的数与（1，2] 的各元x相配对了。Z的各元2x全都有“对象”x ∈D了，从而全都不能与（1，2] 的各元x“搞对象”。否定此理者暴露其根本不懂“一一对应”概念。
形成鲜明对比的是由 2D的各元x均由x变换为2x后所形成的新的数集就与2D对等。
所以Z各元与D各元一一对应远≠2D各元与D各元一一对应，数学引以为豪的被“最伟大数学家”希尔伯特断定任何人都不能推翻的百年无穷集论，是重大的百年之误！建立在此重大错误之上的理论必是错上加错的更重大错误。不及时纠正会使人在错误的泥坑里越陷越深以致无力自拔。
对占统治地位的集合论，1908年著名数学家庞加莱富有远见卓识、高瞻远瞩地作出极其惊人的超凡越圣的伟大科学预见：“下一代人将把（康脱尔的）集合论当作一种疾病，而且人们已经从中恢复过来了。”（张锦文等，连续统假设，辽宁教育出版社，1988：20）。
参考文献
[1]黄小宁 数学书有隐瞒不了的极重大根本错误，见：科学中国人十年优秀论文选[C]，北京：人民日报出版社，2003.11：994。
[2]黄小宁 y =1010x 1010且>0的值域显然≠（0，1010）——教科书的重大错误应及时纠正，见：中国教师优秀论文集成（上）[C]，珠海：珠海出版社，2002.8：547。
[3][4]黄小宁 “任何正数x=2•x/2”是个重大错误；起码数学常识凸显数学课本及教学有重大错误——兼论教师有错不纠是严重失职；见：全国教育教学论文暨教案选萃[C]，北京：中国环境科学出版社，2005.4：161、168。
[5]黄小宁 极浅显常识揭示数学有极重大根本错

凭傻瓜数学获重大发现：有正数x ≠ 100…0（x/100…0）
黄小宁
通讯：广州市华南师大南区9—303第二信箱 邮编510631
[摘要]直线函数是最简单而又最重要的函数，然而世人在中学阶段就搞错了这类变量的变域啊！例如，如x>0表达x所取数全都是正数一样，0 < x<<y = 100…0x 直接表达y所取各数y相比下全都是>>0的极大正数。然而数学却断定此y可由大到小遍取（代表）一切正数。常识：正数y距0充分远才能有远比其小的正数与之相对应。所以必有太小正数y小至无对应数y/100…0。否定此理者缺乏起码逻辑推理能力。
关键词 语文与近似计算常识 变量间距离的大小 更无理数 变量的变域 最重大根本错误
科学史上那些千载难逢的重大革命发现造福全人类，但发现的方法、科研的思路是“渔”，远比发现本身更有价值。扩充数域是数学发展史上的重大转折与飞跃。
求复杂变量（例如点的位移）的非0近似变量是极为重要的根本问题。故须分析研究变量间的距离的大小，将大小搞反了必引出一连串的推理错误。“y = x + (y — x)不≈x + 0”的含义是y — x距0远而不近从而不可视其为0而忽略。蚂蚁的身高m + 甲人身高km ≈0 + km，因为m与km相比实在是距0太近了以致于可视其为0而忽略；而km与m相比实在是距0太远了从而不可略，虽然其与太阳的高度相比也距0极近。大与小是相比较而言的，一变量所取各数相比下全是极大正数，能说其能取一切正数？
直线段L：y1______y2的两端点总不能近似处于同一位置即y1始终都不≈y2的唯一原因是两端点总相距太远使L总太长，即两点间的距离ρ= | y1－y2| > 0所取之值全是不可忽略的充分大的数。当且仅当ρ取充分小的正数时才能使相应的两数近似相等。L若不能满足“充分短”这一“苛刻”的条件，就不能使两端点近似处于同一位置。若连此一目了然的几何常识也不能从数、数量关系的高度上来阐明，那就如连正方形对角线的长也不能定量阐明一样，充分表明已认识的数的全体还远远不够用、远远不能满足实际的需要。若两表示长度的正实变量x与y之间的距离ρ>0能由大到小取一切可表示长度的正数，则x与y在任何衡量两者的差距的尺度下都必能接近到可视其为合二为一的重合相等没有差别的程度，绝对不能有总大小极悬殊的重大差别。否定此理者暴露其缺乏最起码数学常识。注！ρ的大小是与x与y相比而不是与别的量相比而言的。这是近似计算的常识。大小极悬殊的2个正数,大的与小的相比是距0极远的极大正数，此极大正数近似于这2个正数之间的距离。断定x>0能变至≈100…01x是常识性错误。
y2=100…01（百亿个0）x>0与y1=x总大小极悬殊远无近似相等的关系，是因距离函数ρ=f(x)=100…01x－x=100…00x>>x>0相比下总距0极远，使其所取各数ρ相比下全是>>0从而远不可视其为0而忽略的“天文数字”。其实此表达式已直接表达ρ所取各数ρ均约百亿倍于x>0，相比下全都是>>0的数。小学生都明白凡可表为百亿个正数x的和的数100…0x相比下全都是天文数字。凡可百亿倍于其子部的直线段相比下全都是极长线段，其所对应的正数相比下全是极大正数，其两端点相比下均相距极远。注！在光年尺度下北京与广州近似处于同一位置，但在公里尺度下两地相距极远。只认识光年尺度是远远不能满足实际的需要的。同理，…。
然而数学却断定此ρ=100…00x可取任何（一切）正数。依据是：任何正数ρ=100…00（ρ/100…00）=100…00x。后文的傻瓜数学揭示此依据其实是病句：0<x<<ρ=100…00x=任何正数。断定
y = x + 100…00x>0-----------------------A
中总起举足轻重作用不可忽略的100…00x=ρ（y与x间的距离）能由大到小遍取一切正数，显然是变相断定其必能与0接近到可视其为0的程度，更绝对不能有总距0太远的数量关系。这严重歪曲了事物的本来面目！